PENDUGAAN PARAMETER 

Melakukan estimasi terhadap nilai dugaan atau taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui

Contoh :

Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi sebenarnya dari pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi yang sebenarnya.

METODE PENDUGAAN PARAMETER

METODE PENDUGAAN KLASIK

Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi.

METODE BAYES

Pendugaan dengan menggabungkan informasi yang terkandung dalam sampel dengan informasi lain yang tersedia sebelunnya yaitu pengetahuan subyektif mengenai distribusi probabilitas parameter.

PENDUGAAN SELANG

 a. Parameter ditaksir oleh harga diantara batas batas dua harga

      Misal :

      Jika rata - rata sampel panjang ikan adalah 60 cm, maka rata - rata populasi bisa antara 55 cm  65 cm atau antara 50 cm - 70 cm.

     - semakin besar interval duga maka semakin kecil selang kepercayaan

       - semakin kecil interval duga maka semakin besar selang kepercayaan

b. Untuk menduga interval µ harus didapatkan dua nilai statistik L dan N sedemikian sehingga 

     P (L ≤ µ ≤ N) = 1 – α

     Interval hasilnya L ≤ µ ≤ N = dugaan interval dengan kepercayaan (1-α) untuk µ tidak diketahui

     L dan N = batas kepercayaan atas dan bawah

     (1-α) = koefisien kepercayaan     

     α = 0.1, diperoleh selang kepercayaan 90%

PENDUGAAN SELANG UNTUK NILAI TENGAH

CONTOH BESAR

• Selang kepercayaan bagi µ ; s. Bila x bar adalah nilai tengah contoh acak berukuran n dari suatu populasi dengan ragam diketahui. Maka selang kepercayaan (1-α )100% bagi µ adalah 

• n berukuran besar (≥ 30)
• jika sampel berukuran besar maka ragam tidak diketahui s2

          dapat diganti dengan s2

Contoh soal 

Rata - rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2,6. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rata - rata semua IP mahasiswa S-1. Standar deviasi 0.3

Solusi

Diketahui

x bar = 2.6

s    = 0.3

Z0,025   =  1.96

Z0,005    =   2.575

- Untuk selang kepercayaan 95%  

 

Jadi, dapat dipercaya 95% bahwa rata - rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70

- Untuk selang kepercayaan 99%  

CONTOH KECIL

• Selang kepercayaan bagi µ ; s tidak diketahui bila x bar dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh berukuran n<30 adan ragam tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1-α )100% bagi µ adalah 

• Dalam hal ini  ta/2 adalah nilai t dengan v = n-1     

Contoh soal

Terdapat tujuh botol berisi air mineral sebesar 9.8 ; 10,2 ;10.4 ; 9.8 ; 10 ; 10.2 ; 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah isi semua botol . Asumsikan data menyebar normal. s = 0.283.

Solusi

Diketahui

x bar = 10

s = 0,283

t0.025 = 2,447 

n = 7

v = 7 -1 = 6 

Jadi, dapat dipercaya 95% bahwa nilai tengah isi semua botol   antara 2.50 hingga 2.70.


Sekian dan Terima Kasih.

UJI CHI - SQUARE

KEGUNAAN DAN KARAKTERISTIK CHI  - SQUARE

KEGUNAAN CHI - SQUARE

Uji Chi Square berguna untuk menguji hubungan atau pengaruh dua buah variabel nominal dn mengukur kuatnya hubungan antara variabel yang satu dengan variabel nominal lainnya (C = Coefisien of Contingency).

KARAKTERISTIK CHI - SQUARE

• Nilai Chi - Square selalu positif
• Terdapat beberapa keluarga distribusi Chi - Square, yaitu distribusi Chi - Square dengan DK = 1,2,3 dst.
• Bentuk Distribusi Chi - Square adalah menjulur Positif.

RUMUS CHI SQUARE

X² = Nilai Chi - Kuadrat

fe = Frekuensi yang diharapkan

fo = Frekuensi yang diperoleh atau diamati

Contoh Soal

Peneliti ingin mengetahui apakah terdapat hubungan antara jenis kelamin dengan hobi ?

Data :

Laki - laki suka olah raga   27 orang

Perempuan suka olah raga   13 orang

Laki - laki yang suka otomotif   35 orang

Perempuan yang suka ototmotif   15 orang

Laki - laki yang suka shopping  33 orang

Perempuan yang suka shopping   27 orang

Laki - laki yang suka komputer   25 orang

Perempuan yang suka komputer   25 orang

Solusi

1. Tulis Hipotesis Ha dan Ho

• Ho : x = 0, Tidak terapat hubungan yang signifikan antara jenis kelamin dengan hobi
• Ha : x ≠ 0, Terdapat hubungan yang signifikan antara jenis kelamin dengan hobi

2. Buat Tabel Kontingensi

    Tabel berbentuk 2 baris dan 2 kolom. Setiap kotak disebut sel, setiap sebuah kolom berisi sebuah subvariabel, setiap sebuah baris berisi sebuah subvariabel

3. Cari Nilai Frekuensi Harapan (fe)

    fe untuk setiap sel = 

   fe sel pertama = (120 x 40) /200= 24

   fe sel kedua = (80 x 40) /200 = 16

   fe sel ketiga = (120 x 50) / 200 = 30

   fe sel keempat = (80 x 50) / 200 = 20

   fe sel kelima = (120 x 60) / 200 = 36

   fe sel keenam = (80 x 60) / 200 = 24

   fe sel ketujuh = (120 x 50) / 200 = 30

   fe sel kedelapan = (80 x 50) / 200 = 20

4. Isikan nilai fe ke dalam Tabel Kontingensi

5. Hitung Chi Square

          =  (27-24)²/ 24 + (35-30)²/ 30 + (33-36)²/ 36 + (25-30)²/ 30 + (13-16)²/ 16 +  (15-20)²/ 20 + (27-24)²/ 24 + (25-20)²/ 20

             =  5.729

6. TENTUKAN KRITERIA PENGUJIAN

• Jika X²hitung ≤  X²tabel, maka Ho diterima
• Jika X²hitung > X²tabel, maka Ho ditolak

             atau

• Jika Sig.  X²hitung > X²tabel, maka Ho diterima
• Jika Sig.  X²hitung < X²tabel, maka Ho ditolak

7. TENTUKAN NILAI  X² TABEL

• Taraf Signifikansi (α) = 0.05
• Df = ( Baris - 1 )( Kolom - 1 ) = (2-1)(4-1) = 3
• X²tabel = 7.815 ( Lihat tabel Chi Square )

8. BANDINGKAN X²HITUNG DENGAN X²TABEL

• X²hitung (5.729) < X²tabel (7.815)

9. KESIMPULAN 

    

    Tidak terdapat hubungan yang signifikan antara jenis kelamin dengan hobi.



Sekian dan Terima Kasih.

SPORT

UJI NORMALITAS

Normalitas dalam statistik parametric seperti regresi dan Anova merupakan syarat pertama. Uji normalitas bertujuan untuk menguji apakah dalam model regresi, variabel penggangu atau residual memiliki distribusi normal.  Jika asumsi ini dilanggar, maka uji statistik menjadi tidak valid atau bias terutama untuk sampel kecil. Uji normalitas dapat dilakukan melalui dua pendekatan yaitu melalui pendekatan grafik (histogram dan P-P Plot) atau uji kolmogorov-smirnov, chi-square, Liliefors maupun Shapiro-Wilk

  

Bagaimana mengatasi masalah normalitas ?

Ada tiga pilihan yang dapat dilakukan jika diketahui bahwa data tidak normal; yaitu :

1.       Jika jumlah sampel besar, maka dapat menghilangkan nilai outliner dari data (bahasan outliner akan dibahas kemudian)

2.       Melakukan transformasi data

3.       Menggunakan alat analisis nonparametric

Contoh Soal

AKan diuji pengaruh pengaruh kinerja keuangan terhadap return saham. Variabel independen  yang digunakan adalah variabel kinerja keuangan yang diwakili oleh rasio EPS, PER, DER, ROA, ROE, sedangkan variabel dependen/variabel yang dijelaskan yang diteliti adalah return saham perusahaan

Data diperoleh dari kinerja keuangan diperoleh dari ICMD, sementara data saham diperoleh dari yahoo finance (lihat bagaimana cara memperoleh data saham melalui yahoo)

Data

EPS         PER         DER         ROA        ROE         RET

0.001     0.481     0.295    5.667     0.007     -0.481

0.333    0.154     0.362    0.838    0.317      0.190

0.205    0.078     1.282     8.755     0.063    0.597

0.014     0.121      1.163      6.587     0.081     0.680

0.067     0.181      0.806    5.152     0.087     -0.300

0.284    0.098    3.125     10.409  0.073     0.379

0.077      0.014     0.429    0.838    0.353    0.363

0.242    0.083    0.658    -4.470    0.026    0.178

0.017      0.073     1.639     2.949    0.195     4.689

0.012     1.031      0.433    4.155     0.007     5.685

0.083    3.030    0.269    9.388    0.002    12.716

0.125     0.054    2.222    2.306    0.299    4.921

0.500    0.005    1.852     0.399    1.628     4.066

2.890    0.039    1.563     2.786     0.223    7.944

9.820    0.084    1.449     0.852    0.694    3.079

5.440    0.061     0.645    1.997      0.019     2.722

0.063    0.119      1.538     0.917      0.103     0.888

0.008    0.170      2.439    1.523     0.054    1.531

0.333    0.027     1.042     1.927      0.265    2.260

0.100     0.066    2.564    4.499    0.159     4.599

0.016     0.065    1.316      1.381      0.037     1.397

0.500    0.055    4.762     1.299     0.630    1.799

-2.400   0.022    0.014     -0.135    -0.010    0.100

0.388    0.106     4.762     2.661     0.031     0.079

0.050    0.074     7.143      3.093    0.284    -0.061

0.002    0.145     5.263    17.033   0.049    -0.011

0.005    0.044    1.316      37.480  0.012     0.318

-0.014    -0.377    0.917      -6.211    -0.077    -0.523

0.040    0.308    0.260    1.818      0.113      -0.077

0.008    0.833    2.857     25.743  0.029    3.800

Solusi

Lakukan pengujian regresi ganda seperti biasa, dengan mengklik Analyze – Regression – Linier

Masukkan variabel EPS, PER, DER, ROA, ROE ke kotak Independent dan RET ke kotak dependent

Klik Plot, lalu beri tanda pada “HISTOGRAM” dan “NORMAL PROBABILITY PLOT” seperti gambar di bawah

 

Klik Continue, lalu OK

Akan tampil output sbb : (output dapat didownload di sini)

Perhatikan Grafik Histogram dan P-P Plot

Berdasarkan grafik Histogram, diketahui bahwa sebaran data yang menyebar ke semua daerah kurva normal. Dapat disimpulkan bahwa data mempunyai distribusi normal. Demikian juga dengan Normal P-Plot. Data menyebar di sekitar garis diagonal dan mengikuti garis diagonal yang menandakan normalitas data.

Meski dua grafik di atas menunjukkan bahwa model telah memenuhi asumsi normalitas, namun untuk meyakinkan dilakukan uji statistik dengan melihat nilai kurtonis dan Skewness dari residual.

langkah-langkah ujinya :

Lakukan pengujian ulang seperti langkah2 satu dan dua di atas.

Klik Tombol “SAVE”, lalu beri tanda pada pilihan “UNSTANDARDIZED” seperti gambar di bawah

Sekarang kita memperoleh variabel baru yaitu RES_1. Variabel ini adalah data residual.

Kemudian dari Menu Utama SPSS, pilih Analyze – Descriptive Statistics, dan pilih sub menu Descriptive

Pada kotak variabel, masukkan data Residual (RES_1)

Aktifkan Kurtonis dan Skewness pada pilihan Option, lalu tekan continue

Interprestasi Nilai Skewness dan Kurtosis

Diperoleh nilai Skewness = 1.382 dan Kurtosis 2.458. Dari nilai ini kemudian dapat dihitung nilai ZKurtosis dan ZSkewness dengan formulasi sbb :

ZKurtosis = Kurtosis / sqrt (24/N)

ZSkewness = Skewness / sqrt (6/N)

Maka hasil perhitungannya adalah

ZKurtnosis = 2.748, dan ZSkewness = 3.090

Nilai Z kritis untuk alpha 0.01 adalah 2.58. Berdasarkan nilai ZKurtosis hasil uji menunjukkan bahwa residual adalah normal (ZKurtosis < 2.58), sementara berdasarkan ZSkewness nilai ZSkewness > 2.58 (tidak normal), karena dua pengujian ini berbeda, maka dilakukan uji lanjutan dengan menggunakan teknik Kolmogorov Smirnov

Masih menggunakan data yang sama,..

Pilih Analyze – nonparametric, lalu pilih 1-Sample-K-S

Masukkan variabel RES_1 ke kotak “TEST VARIABLE LIST”

Kemudian klik OK

Hasil uji KOLMOGOROV-SMIRNOV menunjukkan bahwa nilai Asymp.Sig adalah sebesar 0.186. Nilai ini jauh lebih besar diatas 0.05 sehingga dapat disimpulkan residual berdistribusi Normal.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa berdasarkan hasil uji diketahui bahwa model tidak terkena masalah normalitas


Sekian dan Terima Kasih.

ANALISIS DATA MENGGUNAKAN MATLAB

APA ITU MATLAB ?

Matlab merupakan suatu program komputer yang bisa membantu memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap ditemui dalam bidang teknis. Kita bisa manfaatkan kemampuan MATLAB untuk menemukan solusi dari berbagai masalah numerik secara cepat, mulai hal yang paling dasar seperti sistem 2 persamaan dengan 2 variabel

misal :

x - 2y =32

12 x + 5y = 12

hingga yang kompleks, seperti mencari akar polinomial, interpolasi dari sejumlah data, matriks, pengolahan signal dan metode numerik.

Salah satu aspek yang sangat diandalkan dari MATLAB adalah kemampuan untuk menggambarkan berbagai jenis grafik, sehingga kita bisa memvisualisasikan data dan fungsi yang kompleks. Sebagai contoh, 3 gambar berikut diciptakan dari command surf MATLAB

MEMULAI MATLAB

Kita bisa memulai MATLAB dengan mengklik dua kali icon MATLAB di layar komputer atau melalui tombol start di windows. Setelah proses loading program, jendela utama MATLAB akan muncul sebagai berikut .

Setelah loading selesai akan muncul command prompt di dalam command window

>>

Dari prompt inilah kita bisa mengetikkan berbagai command MATLAB, seperti halnya command prompt di dalam DOS.

Misal

Kita ingin mengetahui tanggal berapa sekarang. Untuk itu kita ketikkan command date 

>> date

setelah menekan enter, akan muncul misalnya

ans = 

07-Jan-2014

Untuk membersihkan command window ketiklah clc 

>> clc

Ketika kita sudah selesai dengan sesi MATLAB dan ingin keluar, gunakan command exit atau quit

>> exit  atau  >> quit

Atau mengunakan menu 

File > Exit MATLAB

MENCOBA KEMAMPUAN MATLAB UNTUK ANALISIS DATA

1. MAKSIMUM DAN MINIMUM

Nilai maksimum dan minimum diperoleh dengan command 

Contoh soal

Misalkan x adalah data tinggi badan 10 orang, dan A ialah data indeks prestasi dari 4 mahasiswa dalam 3 semester.

Data

Solusi

>> x= [175  177  173  165  160  170  174  177  168  170];

>> A= [3.3  2.8  3.3;

3.9  4.0  3.8

3.8  3.5  2.9

2.9  3.2  3.1];

>> max(x)

ans =

    177

>> max(A), max(A')

ans =

    3.9000   4.000   3.8000

ans =

    3.3000   4.000   3.8000   3.2000

>> max(max(A))

ans =

    4

Dari hasil olah data menggunakan MATLAB kita bisa milihat bahwa max (x) menghitung tinggi maksimum dari 10 orang yang ada, max (A) menghitung IP tertinggi pada setiap semester, sedangkan max (A') menghitung IP tertinggi setiap mahasiswa. Sementara itu max ( max (A) ) menghitung IP tertinggi yang pernah dicapai mahasiswa selama 3 semester.

2. JUMLAH DAN PRODUK

Berberapa jenis Operasi penjmlahan bisa dilakukan dengan command sum dan cumsum

Definisikan vektor y dan matriks B sebagai berikut :

 y = ( 1    4    9    16    25  )

>> y=[1:5].^2;

>> B=[1:3; 4:6; 7:9];

>> jml_y = sum (y)

jml_y =

      55

>> jml_B = sum(B)

jml_B =

      12   15   18

>> total_B = sum (sum(B))

total_B =

      45

>> kumulasi_y = cumsum(y)

kumulasi_y =

      1    5    14    30    55

>> kumulasi_B = cumsum(B)

kumulasi_B =

      1     2     3        

      5     7     9

      12    15    18

Untuk produk perkalian  elemen elemen vektor dan matris bisa diperoleh dengan cara yang identik

Vektor y dan matriks B sebelumnya 

>> pdk_y = prod(y)

pdk_y =

      14400

>> pdk_B = prod(B)

pdk_B =

      28    80    162

>> tot_pdk_B = prod(prod(B))

tot_pdk_B =

      362880

>> kumulasi pdk_y = cumprod(y)

kumulasi_pdk_y =

      1    4    36   576    14400

>>kumulasi_pdk_B = cumprod(B)

kumulasi_pdk_B =

      1     2    3

      4     10   18

      28    80   162

3. STATISTIKA

Berikut adalah command untuk analisa statistik

Dengan menggunakan data tinggi badan dan nilai IP mahasiswa

>> x=[175 177 173 165 160 170 174 177 168 170]

>> A=[3.3 2.8 3.3;

3.9  4.0  3.8

3.8  3.5  2.9

2.9  3.2  3.1];

>> rataan IP sem = mean(A)

rataan_IP_sem =

      3.4750  3.3750  3.2750

>> rataan_IP_mhs = mean(A')

rataan_IP_mhs =

      3.1333  3.9000  3.0667

>> rataan_IP_total = mean(mean(A))

rataan_IP_total = 

      3.3750

>> nilai_tengah = median (x), deviasi = std(x),...

variansi = var(x)

nilai_tengah =

      171.5000

deviasi =

      5.4661

variansi =

      29.8778 

4. SORTIR

Mengurutkan data di MATLAB dengan command

Menggunakan data tinggi badan dan IP mahasiswa

Kita urutka data tinggi badan dari kecil ke besar ( ascending ).

>> sort(X)

ans =  

    160   165   168   170   170   173   174   175   177   177

Atau kita urutkan disertai indeks yang menunjukan nomor urut elemen pada pada vektor x sebelum disortir.

>> [y,ind]= sort(x)

y =

    160  165  168  170   170   173   174   175   177   177

ind =

    5   4   9   6   10   3   7   1   2   8

Untuk mengurutkan tinggi badan dari besar ke kecil ( descending ).

>> fliplr(sort(x))

ans =

    177  177  175  174   173   170   170   168   168   160

Demikian pula untuk mengurutkan elemen matriks secara ascending pada kolom per kolm :

 >> sort(A)

ans = 

    2.9000     2.8000    2.9000

    3.3000     3.2000    3.1000

    3.8000     3.5000    3.3000

    3.9000     4.0000    3.8000

Atau descending pada kolom per kolom 

>> flipud(sort(A))

ans = 

    3.9000     4.0000    3.8000

    3.8000     3.5000    3.3000

    3.3000     3.2000    3.1000

    2.9000     2.8000    2.9000

Melakukan sortir dengan indeks. Perhatikan bahwa koom - kolom dalam IND berisi nomor urut elemen  pada matriks A sebelum disortir.

>> [Y,IND] = sort(A)

Y =

    2.9000     2.8000    2.9000

    3.3000     3.2000    3.1000

    3.8000     3.5000    3.3000

    3.9000     4.0000    3.8000

IND =
    4     1     3

    1     4     4

    3     3     1

    2     2     2

5. HISTOGRAM DAN DIAGRAM BATANG

Histogram dan diagram batang  dapat ditampilkan di dalam MATLAB dengan command berikut

Dengan menggunakan data tinggi badan, pertama - tama kita plot menjadi histogram dengan 10 interval

>> x=[175   177   173   165   160   170   174   177   168   170]

>> hist(x);title('Histogram tinggi badan');

>> xlabel('Interval tinggi badan');

>> ylabel('frekuensi')

Jika hanya mengiginkan 4 interval

>> hist(x,4);)title('Histogram tinggi badan');

>> xlabel('Interval tinggi badan');

>> ylabel('frekuensi');

Histogram di atas menggambarkan distribusi tinggi badan, yang dikelompokan kedalam sejumlah interval yang lebarnya seragam.

Untuk menggambarkan data tinggi badan dengan Diagram Batang, dapat dibuat dengan command berikut.

>> bar(x);title('Diagram batang tinggi badan');

Atau dengan memplot vektor x sebagai data diskrit.

>> stem(x)

sekarang kita coba membuat histogram dan disimpan dalam variabel dengan command yang ada, kemudian kta plot diagram batangnya dan beri warna putih.

>> [m,y]= hist(x)

>> subplot(1,2,1);bar(y,m,'w')

>> xlabel('Interval tinggi badan')

>> ylabel('frekuensi')

Selamat Mencoba dan berlatih.